16 yaşına qədər Harri Kasparov istedadlı gənc şahmatçılardan biri sayılırdı. Nəticələri yaxşı, bəzən də çox yaxşı idi. Amma fövqəladə deyildi. Məsələn, hələ idman ustası dərəcəsi vardı. Halbuki Robert Fişer 15 yaşında qrossmeyster olmaqla o zaman rekordçu sayılırdı.
1979-cu ilin yazında onu Yuqoslaviyanın Banya-Luka şəhərində keçirilən güclü tunirə göndərdilər. Turnirin 16 iştirakçısından 14-ü qrossmeyster idi, Kasparovun isə heç ELO reytinqi yox idi. Onun iştirakı bəzi qrossmeysterlərin etirazına səbəb oldu. Yuqoslav Vukiç öz fikrini “Ruslar uşaqları göndərməklə bizi təhqir edirlər” şəklində bildirmişdi. Amma Kasparov 15 görüşün səkkizində qələbə qazandı (o cümlədən Vukiç üzərində), yeddisini isə heç-heçə edərək 11,5 xalla birinci yeri tutdu.
Bundan sonra aydın oldu ki, Kasparov sadəcə istedadlı deyil, gələcəkdə dünya çempionu adına ciddi iddiaçıdır. Banya-Lukadan qayıdandan sonra onu və anası Klara Kasparovanı Azərbaycan Kommunist partiyasının birinci katibi Heydər Əliyev qəbul etdi. Harri sonrakı karyerası ərzində Əliyevin güclü himayəsi altında oldu.
O zaman SSRİ-də bəyan edilən beynəlmiləlçilik şüarlarına baxmayaraq, siyasi rəhbərlik şahmat üzrə dünya çempionu titulunun xalis rus olan Anatoli Karpovun daşımasından məmnun idi və başqa xalqdan olan birisinin, ələlxüsus da yəhudi qarışıqlı birisinin çempion olmasına isti yanaşmırdı. Kasparov özü də etiraf edir ki, Heydər Əliyevin himayəsi olmasaydı, dünya çempionluğunu qazana bilməyəcəkdi.